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"Ensinar é um exercício de imortalidade . De alguma forma continuaremos a viver naqueles, cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia de nossas palavras. O professor, assim não morre jamais."

Respostas - Matemática Divertida - Desafios Matemáticos - Volume 01

terça-feira, 31 de março de 2009

Problema 01: Uma vasilha cilíndrica circular com capacidade para 1 litro está cheia de suco.
De que forma pode ser feita a transferência de suco da vasilha maior para uma outra vasilha irregular com capacidade para 678 ml, de modo que ambas as vasilhas fiquem com exatamente 500 ml, sem usar outras vasilhas.
RESPOSTA
Considere o cilindro circular sendo olhado de longe. O mesmo parecerá um retângulo. Coloque as letras A, B, C e D como se fossem os vértices do retângulo e vá despejando o suco na outra vasilha até que as letras A e C estejam na mesma horizontal (diagonal do retângulo). Neste instante você estará com a metade do suco.







Problema 02: Palitos e mais palitos
  1. Dada a figura em cor maravilha com 12 palitos, mova 3 palitos para obter três quadrados.

RESPOSTA

b. Usando 9 palitos de fósforo, construa o 100.
I I I I I I I I I

RESPOSTA

c. Retirar 3 palitos do desenho em azul para obter 3 quadrados.
RESPOSTA

d. Acrescente 8 palitos a 3 palitos para obter oito.

I I I I I I I I I I I

RESPOSTA


e.  Mover 5 palitos na figura verde para obter 3 quadrados
 .
RESPOSTA


f. Usando 6 palitos de mesmo tamanho, construir 4 triângulos equiláteros.

RESPOSTA

g. Mova 2 palitos na figura em laranja para obter 5 quadrados.
RESPOSTA
Problema 03: Um feirante vendia queijos em peças. Ao primeiro comprador, ele vendeu a metade das peças que possuia mais meio queijo. Ao segundo, ele vendeu a metade do que restou mais meio queijo. Assim seguiu vendendo até chegar ao sexto e ultimo comprador que comprou a metade do que o feirante possuia mais meio queijo, encerrando as atividades com todos os queijos vendidos. Quantos queijos possuia o vendedor?
RESPOSTA Na 6a.(e última) operação o vendedor tinha a6=1 queijo, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com zero (0).
Na 5a.operação o vendedor tinha 3 queijos, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com um (1). Neste caso a5=2.a6+1.
Na 4a.operação o vendedor tinha 7 queijos, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com três (3). Neste caso a4=2.a5+1.
Na 3a.operação o vendedor tinha 15 queijos, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com sete (7). Neste caso a3=2.a4+1.
Na 2a.operação o vendedor tinha 31 queijos, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com quinze (15). Neste caso a2=2.a3+1.
Na 1a.operação o vendedor tinha 63 queijos, pois vendeu a metade do tinha mais meio queijo e encerrou as atividades com trinta e um (31). Neste caso a1=2.a2+1.

Problema 04: Determinar um número natural que dividido por 2 tem resto 1, dividido por 3 tem resto 2, dividido por 4 tem resto 3, dividido por 5 tem resto 4, dividido por 6 tem resto 5, e dividido por 7 tem resto 0.

RESPOSTA Consideremos que estamos procurando o número X. Assim, X+1 será divisível por 2, 3, 4, 5 e 6, logo o menor número inteiro válido para X+1 é 4x5x6=120, logo o número procurado é 119 que também é divisível por 7.

Problema 05: Qual é a fórmula que fornece a soma:
  1. Dos n primeiros números naturais?
  2. Dos n primeiros números naturais pares?
  3. Dos n primeiros números naturais ímpares?
  4. Dos quadrados dos n primeiros números naturais?
  5. Dos quadrados dos n primeiros números naturais pares?
  6. Dos quadrados dos n primeiros números naturais ímpares?
  7. Dos cubos dos n primeiros números naturais?
  8. Dos cubos dos n primeiros números naturais pares?
  9. Dos cubos dos n primeiros números naturais ímpares?
  10. Das potências de ordem 4 dos n primeiros números naturais?
  11. Das potências de ordem 5 dos n primeiros números naturais?
  12. Das potências de ordem 6 dos n primeiros números naturais?
RESPOSTA EM BREVE

Problema 06: Como se pode repartir para três pessoas, 21 tonéis de vinho, se 7 tonéis estão vazios, 7 tonéis estão cheios e 7 tonéis estão pela metade, de modo que no final da divisão cada pessoa tenha a mesma quantidade de vinho e de tonéis.
RESPOSTA Siga as mesmas idéias que aquelas usadas para resolver o Problema 01. Existem pelo menos duas outras soluções.

Solução No. 1
Tipo de vasilhaCheiaMeio CheiaVazia
Indivíduo A232
Indivíduo B232
Indivíduo C313

Solução No. 2
Tipo de vasilhaCheiaMeio CheiaVazia
Indivíduo A313
Indivíduo B313
Indivíduo C151

Problema 07: Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 8 litros de vinho que estão em uma vasilha maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma com capacidade para 5 litros e outra com capacidade para 3 litros.
RESPOSTA
Operações de mudança de conteúdo853
Situação Inicial800
Da vasilha de 8 para a vasilha de 5350
Da vasilha de 5 para a vasilha de 3323
Da vasilha de 3 para a vasilha de 8620
Da vasilha de 5 para a vasilha de 3602
Da vasilha de 8 para a vasilha de 5152
Da vasilha de 5 para a vasilha de 3143
Da vasilha de 3 para a vasilha de 8440

Problema 08: Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 16 litros de vinho que estão em uma vasilha maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma com capacidade para 11 litros e outra com capacidade para 6 litros.
RESPOSTA
Mudança de conteúdo16116
Situação Inicial1600
Da vasilha de 16 para a vasilha de 61006
Da vasilha de 16 para a vasilha de 110106
Da vasilha de 6 para a vasilha de 166100
Da vasilha de 11 para a vasilha de 6646
Da vasilha de 6 para a vasilha de 161240
Da vasilha de 11 para a vasilha de 61204
Da vasilha de 16 para a vasilha de 111114
Da vasilha de 11 para a vasilha de 6196
Da vasilha de 6 para a vasilha de 16790
Da vasilha de 11 para a vasilha de 6736
Da vasilha de 6 para a vasilha de 161330
Da vasilha de 11 para a vasilha de 61303
Da vasilha de 16 para a vasilha de 112113
Da vasilha de 11 para a vasilha de 6286
Da vasilha de 6 para a vasilha de 16880
Problema 09: Desejamos construir uma coleção de "pesos" para medir massas de objetos com uma balança contendo dois pratos equilibrados.
De que forma uma barra metálica com a massa de 40 Kg poderá ser cortada em apenas 4 partes de modo a se poder pesar objetos desde 1 Kg até 40 Kg.
RESPOSTA Devemos decompor o número 40 nas potências de 3, isto é: 40 = 1 + 3 + 9 + 27
Todos os números desde 1 até 40 podem ser escritos na base 3, isto é, podem ser obtidos como soma ou subtração dos números 1, 3, 9 e 27.



1 = 1
2 = 3-1 : O 3 fica em um prato e o 1 em outro prato
3 = 3
4 = 1+3
5 = 9-3-1: O 9 fica em um prato, o 1 e o 3 em outro
6 = 9-3
7 = 9+1-3
8 = ...

Problema 10: Dinheiros iguais: Uma pessoa falou com a outra: "Se você me der R$1,00, eu terei o dobro do que você tem". Então o outro disse: "Se você me der R$1,00, teremos dinheiros iguais". Quanto tinha cada um?
RESPOSTA Montaremos um sistema com 2 equações e 2 incógnitas. Tomaremos X como o que possui a pessoa PX e Y o que possui a pessoa PY.
Se PY der 1 para PX, PX ficará com X+1
E este deverá ser o dobro do que tem PY, logo: X+1=2Y
Se PX der 1 para PY, PX ficará com X-1 e PY com Y+1
Dessa forma: X-1=Y+1
Resolvendo o sistema, teremos que X=5 e Y=3.

1 comentários:

Thaylan_Lima disse...
Este comentário foi removido pelo autor.

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