Desvendando a Matemática - Frações

Elementos Históricos sobre frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número -o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

• Você concorda com esta divisão? Por quê?
• Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
• O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q₊, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q₊ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

1 4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

1/4	1/4
1/4	1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

Fração	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9
Leitura	um meio	um terço	um quarto	um quinto	um sexto	um sétimo	um oitavo	um nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

Fração	Leitura
1/11	um onze avos
1/12	um doze avos
1/13	um treze avos
1/14	um quatorze avos
1/15	um quinze avos
1/16	um dezesseis avos
1/17	um dezessete avos
1/18	um dezoito avos
1/19	um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração	Leitura	Leitura Comum
1/10	um dez avos	um décimo
1/20	um vinte avos	um vigésimo
1/30	um trinta avos	um trigésimo
1/40	um quarenta avos	um quadragésimo
1/50	um cinqüenta avos	um qüinquagésimo
1/60	um sessenta avos	um sexagésimo
1/70	um setenta avos	um septuagésimo
1/80	um oitenta avos	um octogésimo
1/90	um noventa avos	um nonagésimo
1/100	um cem avos	um centésimo
1/1000	um mil avos	um milésimo
1/10000	um dez mil avos	um décimo milésimo
1/100000	um cem mil avos	um centésimo milésimo
1/1000000	um milhão avos	um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

Tipos de frações

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.

1/4	1/4
1/4	1/4

A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.

3/3 1/3 1/3 1/3	+	2/3 1/3 1/3 1/3	=	5/3=1+2/3 1 1/3 1/3 1/3

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.

Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

1/2 1/2 1/2	2/4 1/4 1/4 1/4 1/4	3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6	4/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Propriedades fundamentais

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

1 2	=	1×2 2×2	=	2 4

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

12 16	=	12÷2 16÷2	=	6 8	=	6÷2 8÷2	=	3 4

A fração como uma classe de equivalência

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }

Número Misto

Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.

Transformação de uma fração imprópria em um número misto

17 4	=	16+1 4	=	16 4	+	1 4	= 4+	1 4	=	4	1 4

Transformação de um número misto em uma fração imprópria

4	1 4	=	4+	1 4	=	16 4	+	1 4	=	17 4

Simplificação de Frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

36 60	=	36÷2 60÷2	=	18 30	=	18÷2 30÷2	=	9 15	=	9÷3 15÷3	=	3 5

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:

54 72	=	54÷18 72÷18	=	3 4

Comparação de duas frações

(1) Por redução ao mesmo denominador

Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

3 5	<	4 5

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.

2 3	?	3 5

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:

2 3	=	2×5 3×5	?	3×3 5×3	=	3 5

Temos então os mesmos denominadores, logo:

2 3	=	10 15	?	9 15	=	3 5

e podemos garantir que

2 3	=	10 15	>	9 15	=	3 5

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade

3 4	>	3 8

pode ser dada geometricamente por:

3/4=6/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8	3/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.

Divisão de frações

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D =	1 2	÷	2 3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D =	1 2	÷	2 3	=	3 6	÷	4 6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.

3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6	4/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes deB estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D =	1 2	÷	2 3	=	3 6	×	6 4	=	18 24	=	3 4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a b	÷	c d	=	a b	×	d c	=	a.d b.c